"Cuando un naturalista se enamora de la naturaleza, ya nunca tendrá suficiente"

Sir David Attenborough

lunes, 15 de noviembre de 2010

Fractales: La geometría divina de la naturaleza



El brócoli romanesco manifiesta un exquisito diseño fractal representando la espiral áurea.
En su estructura fractalizada cada porción nace de la anterior y gesta la siguiente, originado por el factor de Phi, la proporción de oro.



Un fractal es una forma o comportamiento matemático que describe fenómenos como un árbol, una línea litoral, un rayo o una coliflor, de una forma en la que la geometría euclidiana no lo puede hacer. Son autosimilares y teóricamente repiten en sí mismos su propio modelo a diferentes escalas una y otra vez hasta el infinito. Dicho de otro modo, un fractal es un patrón geométrico que se autorreplica infinitamente a escalas menores para producir formas y superficies irregulares que escapan de los dominios de la geometría clásica. Cada porción de un fractal, por más pequeña que esta sea, proyecta la figura completa a una escala más pequeña. La naturaleza de un fractal radica principalmente en dos variables: la irregularidad al nivel de la forma, y el patrón a nivel del ritmo. Mientras que su característica intrínseca es el desdoblamiento autosemejante.


El llamado Triángulo de Sarpienski, fue cread en 1915 por el matemático polaco que le dio nombre y está considerado como el primer fractal artificial.





Creación de un fractal típico en base a un patrón triangular que se autoreplica hasta el infinito






Fractales generados por ordenador




Fractal en 3 dimensiones generado por ordenador




Fractal generado por ordenador


Fractal en 3d creado por ordenador a base de esferas autoreplicantes.


Con la geometría, el ritmo y la cromática, la naturaleza alcanza en los fractales las más espectaculares, y a la vez discretas, manifestaciones estéticas. Sigue un patrón fractal, por ejemplo, un gran río como el Amazonas a cuyo cauce principal de varios kilómetros de anchura se unen numerosos ríos tributarios con su misma estructura pero menor tamaño. A estos les ocurre respectivamente lo mismo, pues son nutridos los afluentes que nutren a su vez a los tributarios. La misma secuencia y estructura se repite una y otra vez sucesiva y ordenadamente hasta llegar a los miles de millones de minúsculas corrientes de menos de un milímetro de anchura que drenan el suelo de la selva a modo de minúsculos ríos Amazonas, repitiendo la forma serpenteante del gran río y su estructura ramificada. Algo parecido ocurre en las marismas de Doñana, cuando tras las lluvias, los terrenos encharcados drenan el agua hacia los múltiples cauces formando intincadas ramificaciones.






Impresionantes imágenes aéreas de la marisma de Doñana en la que se aprecian disposiciones fractales.

El modelo fractal se repite por ejemplo también en la coliflor, en la que el tallo principal de la inflorescencia se divide siguiendo un patrón que se repite una y otra vez a medida que las ramificaciones van reduciendo su tamaño, formando en cada división cada vez más pequeñas coliflores que se comportan del mismo modo.
Fueron descubiertos y bautizados por Benoit Mandelbrot, matemático de Yale. Mandelbrot observó que los cartógrafos británicos midieron la longitud del litoral británico examinando mapas de escala 1:1.000.000, obteniendo determinada magnitud. Cuando repitieron la medición con mapas de escala 1:500.000 descubrieron que la longitud de la costa variaba considerablemente, obteniendo una magnitud mayor. Lo mismo ocurrió cuando lo hicieron con mapas a 1:100.000, 1:50.000, y así sucesivamente. Cuanto más se acercaban, más detallada y larga se volvía la costa, repitiéndose el patrón de cabos, golfos y ensenadas que a su vez tenían pequeños cabos, golfos y ensenadas a los que les ocurría lo mismo. Podría haberse llegado hasta un nivel de detalle microscópico en el que se delimitase la línea de costa en función de los granos de arena de la playa. Los cartógrafos estaban ante algo muy parecido a un fractal natural. Aunque realmente ninguna línea costera puede considerarse como fractal, sí se puede comportar como tal a lo largo de un conjunto de escalas de medida. Para que fuese físicamente posible el patrón debería de repetirse hasta el infinito y el caso de la costa de Inglaterra no lo es, pues está delimitado entre las escalas microscópicas de los pequeños granos de arena de la playa y el tamaño finito de la isla de Gran bretaña. De igual forma se comportan muchos fractales de la naturaleza: manifiestan patrones fractales en determinados tramos espaciales.
Tanto en las formas creadas por las fuerzas geológicas, atmosféricas, químicas o físicas, como en las creadas por los organismos vivos, podemos encontrar espectaculares ejemplos de fractales.


Mineralizaciones en forma de dendrita en la superficie de un Amonites fosilizado, otro ejemplo de fractal en la naturaleza.



Dendrita de Magnesio sobre pirolusita




Helecho del género Dryopteris. La disposición de sus pinnas en los frondes obedece a un patrón fractal.


Cada pinna o sección del fronde del helecho Dryopteris es idéntica al fronde del que forma parte.



Imagen satélite de cañones en Arizona. Las formaciones geológicas a menudo siguen patrones fractales.

Imagen satéite del Nilo en Egipto formando fractales




Cristal de nieve siguiendo un patrón fractal.




Las ramas repetidamente bifurcadas de un árbol también siguen un diseño fractal



En apariencia los fractales están asociados con la matemática del caos, aunque nada más lejos de la realidad. En realidad están regidos y ordenados por una geometría definida. Un caso lo encontramos en las nubes, cuya naturaleza es fractal. Su contorno parece caótico, pero es un fractal regido por las propiedades inherentes a la interacción del vapor de agua con el aire y las partículas de polvo.


Las nubes como este cumulonimbo de evolución se rigen por diseños fractales



Vórtex de nubes evolucionando con pautas fractales

6 comentarios:

  1. Las plantas cuando crecen a modo de fractales naturales lo hacen para, por un lado maximizar la superficie por la que captan luz y oxígeno y por otro para minimizar el volumen on que lo hacen. De ahí el diseño intrincado de las ramas de un árbol dividiéndose una y otra vez. Un saludo.

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  2. Muchas gracias por la aportación, algo totalmente nuevo para mi y que como arquitecto me servira de mucho contar con una proporción perfecta e infinita basada en la evolución una natural y logica, fuera de la geometria ¨contemporanea¨ (la era del cubo) y pasar a la geometria de la ¨nueva dimension¨ (la era de la armonia perfecta). Gracias

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  3. Preciosa página y magífico blog. Me muevo la psicología y la biología. Los fractales más interesantes serían "fractales virutales", que se desarrollasen no sólo en el espacio, sino también en el tiempo. La realidad parece tener caracterísiticas de fractal: allá donde miremos nos encontramos mil mundos, y otros mil dentro de cada uno... cuyas leyes de contrucción, además, van cambiando de nivel a nivel.
    En todo caso sería nuestra mente la que almacena la información en forma fractal. Un colega francés lo expresó con elegancia: tout est partout. Parece que la gran diferencia entre cerebros y los ordenadores está en que aquellos no almacenan la información de forma puntual y localizada... sino que de alguna manera se alamacena "en todas partes..."

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  4. Impresionante la idea. También pueden existir semejanzas fascinantes entre cómo almacenan la información los pordenadores y cómo lo hacemos nosostros. Me refiero al caso de la información que no se encuentra en un cerebro en concreto, sino en una "red" de millones de ellos y que posee características dinámicas, con entidad propia, como la información existente en la red informática. Me gustaría que echases un vistazo a la entrada que publiqué sobre los memes, que no dejan de ser unidades de almacenamiento de información. Ahí va el enlace:
    http://labitacoradehumboldt.blogspot.com/2011/05/memes.html
    Muchas gracias por tu comentario, Paco, y un saludo.

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  5. Gracias por tu pronta respuesta (¿estás ahí?). La analogía es totalmente pertinente. Y si consideramenos que los contagios no tienen porqué pasar por la consciencia, entonces la cosa se vuelve realmente vertiginosa. Ese es uno de los fundamentos del Inconsciente Colectivo de Jung, sobre le que tengo una página en mi blog:
    http://pacoderqui.blogspot.com/p/job-de-jung.html

    Apabullado por la calidad de tu blog, intento subscribirme... supongo que acabaré consiguiéndolo. Enhorabuena. Un saludo

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  6. Ahora sí que estoy. El tema es sencillamente fascinante. Ahora mismo me voy a tu blog. (Y, si un ciber-analfabeto como yo ha conseguido hacerlo, seguro que cualquiera consigue suscribirse a un blog). Un saludo y muchas gracias por tus comentarios.

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